razones trigonometricas

Ley de los senos

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c , entonces  .

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).

Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

  

  El tercer ángulo del triángulo es

  C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°

    Por la ley de los senos,

    

  Por las propiedades de las proporciones

    

Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).

Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

  

  El tercer ángulo del triángulo es:

    C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°

  Por la ley de los senos,

    

  Por las propiedades de las proporciones

     y 

El caso ambiguo

Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir.

      (1) No existe tal triángulo.

      (2) Dos triángulos diferentes existen.

      (3) Exactamente un triángulo existe.

Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A . (La altitud h del vértice B al lado  , por la definición de los senos es igual a b sin A .)

      (1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.

            

      (2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.

            

      (3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.

            

Ejemplo 1: No existe solución

Dado a = 15, b = 25 y A = 80°. Encuentre los otros ángulos y el lado. 

  h = b sin A = 25 sin 80° ≈ 24.6

  

  Dese cuenta que a < h. Así parece que no hay solución. Verifique esto usando la ley de los senos.

    

    

  Esto contrae el hecho de que –1 ≤ sin B ≤ 1. Por lo tanto, no existe el triángulo.

Ejemplo 2: Dos soluciones exist en

Dado a = 6. b = 7 y A = 30°. Encuentre los otros ángulos y el lado. 

    h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5

        h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles.

  

  Por la ley de lo senos, 

    

  Hay dos ángulos entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69° y 144.31°.

         Si B ≈ 35.69°              Si B ≈ 144.31°

         C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31°          C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°

          

Ejemplo 3: Una solución existe

Dado a = 22, b =12 y A = 40°. Encuentre los otros ángulos y el lado.

       a > b

  

  Por la ley de lo senos, 

    

 B es agudo.

  C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48°

  Por la ley de lo senos,

    

Si se nos dan dos lados y un ángulo incluído de un triángulo o si se nos dan 3 lados de un triángulo, no podemos usar la ley de los senos porque no podemos establecer ninguna proporción donde información suficiente sea conocida. En estos dos casos debemos usar la ley de los cosenos .

Ley de los cosenos

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

La ley de los cosenos establece:

  c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C .

Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos también puede establecerse como

 b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac cos B or

 a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A .

Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL

Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.

  

    

  Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.

    

Ejemplo 2: Tres lados-LLL

Dado a = 8, b = 19 y c = 14.  Encuentre las medidas de los ángulos.

  

  Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.

    

  Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.

  B ≈ 116.80°

  Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.

  Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos. 

   

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

  Las funciones  y = sin x,  y = cos x,  y = tg x.

  Conviene que comencemos repasando la noción trigonométrica de seno, coseno y tangente de un ángulo.

   Sea un triangulo rectángulo, como el del gráfico presente, siendo los catetos los lados "a" y "b", y la hipotenusa el lado mayor (opuesto al ángulo recto) "c". Las relaciones entre los catetos y la hipotenusa se llaman seno, coseno y tangente, es decir:

    El seno (sin ó sen) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
    El coseno (cos) es el cociente entre el cateto adjunto al ángulo y la hipotenusa.
    La  tangente (tg ó tan) es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
    La tangente puede considerarse también como el cociente del seno entre coseno.

   *  Algunas observaciones y propiedades.

  -  En Cálculo los ángulos suelen expresarse en radianes más bien que en grados. Siga el enlace si no domina bien el concepto de "radian".

  -  Como c > a  y también c > b, se tiene que el seno y el coseno no pueden supera al valor 1; cosa que no sucede con la tangente. Por otra parte, lo valores de a y b pueden ser positivos o negativos:

   En la figura 1, tanto "a" como "b" son positivos ("a" se halla a la derecha, "b" está arriba). En la figura 2, "a" es positivo, y "b" es negativo. En la figura 3, ambos son negativos. En la figura 4, "a" es negativo y "b" positivo.

  - Por tanto, los valores de seno, coseno y tangente de un cierto ángulo pueden ser positivos o negativos. Para el caso del seno y coseno estos valores están comprendidos entre -1 y +1. Por contra, la tangente de un ángulo puede tener cualquier valor.

  - Para cualquier ángulo se cumple la relación fundamental:

 lo cual nos permite obtener otras relaciones entre ellos, tales como:

  - La circunferencia trigonométrica. Se trata de una circunferencia de radio R = 1 que permite establecer relaciones entre seno y coseno de un determinado ángulo, o entre estos y la tangente. Seguir el vínculo para conocer más sobre esta circunferencia.

  *  La función seno.

   Por  y = sin x  (o castellanizado y = sen x ) se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y  + ,  teniendo como imágenes el seno del ángulo x radianes. Teniéndose en cuenta que si  x es superior a 2 (360 grados) se considera un ángulo superior a una vuelta - imagínese un punto dando vueltas a una circunferencia, que no se detiene al llegar al punto de partida.

   Por otra parte, se considera a  x positivo cuando partiendo de las "3 horas" -siga imaginando el punto dando vueltas como si fuera un reloj- ha girado en sentido contrario al normal del reloj, y se considera a  x negativo cuando partiendo de esa misma posición hubiera girado en sentido del reloj.

  En la figura 1 vemos un ángulo positivo de x radianes,  mientras que en la figura 2 se trata de una ángulo negativo de x radianes. Por ejemplo el x de las figuras de arriba podría ser un radian, por supuesto en Matemáticas se considera que:

  1 + 2equivale a  1 radian,  1  + 4 equivale a  1,   1 +  6 equivale a  1, .....
  2- 1 equivale a - 1,   4- 1 equivale a   -1,     6- 1 equivale a  -1, .....

  En definitiva,  x + 2 k  (siendo k un número entero) es equivalente a x, y por tanto se tiene que:  sin x = sin (x + 2 k ) .

   * Gráfica de la función  y = sin x.

  Observe cómo la función  y = sin x es positiva en el intervalo [0, ], y es negativa en el intervalo [, 2],  asimismo se anula en los puntos x=0,  x=, x=2.

*  La función coseno.

   Por  y = cos x  se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y  + ,  teniendo como imágenes el coseno del ángulo x radianes. También hay que tener en cuenta que si  x es superior a 2 (360 grados) es considerado un ángulo superior a una vuelta, como hemos dicho anteriormente para el caso del seno.

  * Gráfica de la función  y = cos x.

 

 Observe cómo la función  y = cos x es positiva en los intervalos [0, /2] y [3 /2, 2 ], y es negativa en el intervalo [/2,  3/2],  asimismo se anula en los puntos  x=/2, x=3/2.

  

*  La función tangente.

   Por  y = tg x  (también denotado tan x) se entiende la función con valores de x comprendidos entre - y  + ,  teniendo como imágenes la tangente del ángulo x radianes. No obstante, esta función no posee imágenes (tiene discontinuidades) en los puntos   x = k /2, para k entero (positivo o negativo).

  * Gráfica de la función  y = tg x.

 Observe cómo la función  y = tg x es positiva en el intervalo [0, /2], y es negativa en el intervalo [-/2, 0],  se anula en los puntos x=0,  x=, x=2... (al igual que el seno). En los punto x = k /2 tiene un tipo específico de discontinuidad: tendiendo hacia - por la derecha de ellos, y tendiendo hacia +por la izquierda.

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